Soal Kinematika Dengan Analisis Vektor Beserta Pembahasan Bagian 1

Soal Kinematika Dengan Analisis Vektor Beserta Pembahasan Bagian 1

Soal 1
Sebuah partikel bergerak dari keadaan diam pada suatu gerak lurus. Persamaan geraknya dapat dinyatakan sebagai : x=t³-2t²+3, x dalam meter dan t dalam sekon. Kecepatan partikel pada t = 5 sekon adalah ….
A. 25 m/s
B. 30 m/s
C. 45 m/s
D. 55 m/s
E. 60 m/s

Pembahasan :

Kecepatan turunan dari vektor posisi:
\begin{aligned}
v &= \frac{dx}{dt} \\
&= \frac{d}{t}\left( t^3-2t^2+3 \right)\\
&= 3t^2 -4t
\end{aligned}

\begin{aligned}
v &= 3\cdot 5^2 -4\cdot 5 \\
&= 3\cdot 25 -20 \\
&= 75 -20 \\
&= 55 \quad \textrm{s}
\end{aligned}

Jawaban : D

Soal 2
Posisi sebuah benda dinyatakan dengan persamaan: \(\vec{r} = \{(15t\sqrt{3}\hat{i}+(15t-5t^2 )\hat{j}\} \) m. Setelah benda bergerak selama 1,5 sekon, kelajuannya menjadi ….
A. 0 m.s^-1
B. 15 m.s^-1
C. 11,5v3 m.s^-1
D. 22,5 m.s^-1
E. 30 m.s^-1

Pembahasan :
Kecepatan turunan dari posisi :
\begin{aligned}
\vec{v} &= \frac{d\vec{r}}{dt} \\
&= \frac{d}{dt}(15t\sqrt{3}\hat{i}+(15t-5t^2 )\hat{j}) \\
&= 15\sqrt{3}\hat{i}-10t\hat{j} \quad \textrm{m/s}
\end{aligned}

Untuk t = 1,5 s, kecepatannya :
\begin{aligned}
\vec{v} &=15\sqrt{3}\hat{i}-10t\hat{j}\\
&=15\sqrt{3}\hat{i}-10\cdot{1,5}\hat{j}\\
&=15\sqrt{3}\hat{i}-15\hat{j} \quad \textrm{m/s}
\end{aligned}

Kelajuan benda :
\begin{aligned}
|\vec{v}| &=\sqrt{v_x^2 +v_y^2}\\
&=\sqrt{(15\sqrt{3})^2+(-15)^2}\\
&=\sqrt{675+225}\\
&=\sqrt{900} \\
&= 30 \quad \textrm{m/s}
\end{aligned}

Jawaban : E

Soal 3
Gerak sebuah benda memiliki persamaan posisi : \(\vec{r} = (8t-4)\hat{i}+(-3t^2+6t)\hat{j}\) . Semua besaran menggunakan satuan dasar SI. Dari pernyataan berikut :
(1) benda bergerak lurus berubah beraturan
(2) memiliki koordinat awal (-4 , 0) m
(3) setelah 1 s, perpindahannya 5 m
(4) setelah 1 s, kecepatannya menjadi 8 m/s
Yang berkaitan dengan gerak pada persamaan di atas adalah ….
A. (1), (2), (3), dan (4)
B. (1) dan (3)
C. (1) dan (4)
D. (2), (3), dan (4)
E. (2) dan (4)

Pembahasan :
– Berdasarakan persamaan posisi di atas, maka benda bergerak lurus berubah beraturan
– Koordinat awal benda saat t = 0 s, maka :
\begin{aligned}
\vec{r} &= (8t-4)\hat{i}+(-3t^2+6t)\hat{j}\\
&=(8\cdot 0-4)\hat{i}+(-3\cdot 0^2+6\cdot 0)\hat{j}\\
&=-4\hat{i}+0\hat{j} \quad \textrm{m}
\end{aligned}

Jadi koordinat awal (-4, 0 ) m

– Perpindahan benda setelah 1 s,
\begin{aligned}
\vec{r} &= (8t-4)\hat{i}+(-3t^2+6t)\hat{j}\\
&=(8\cdot 1-4)\hat{i}+(-3\cdot 1^2+6\cdot 1)\hat{j}\\
&=4\hat{i}+6\hat{j} \quad \textrm{m}
\end{aligned}

Besar perpindahan benda setelah 1 s,
|\vec{r}| &= \sqrt{4^2 +3^2}\\
&=\sqrt{16 +9}\\
&=\sqrt{25}\\
&= 5 \quad \textrm{m}
\end{aligned}

– Kecepatan adalah turunan dari posisi :
\begin{aligned}
\vec{v} &= \frac{d\vec{r}}{dt}\\
&=\frac{d}{dt}\left((8t-4)\hat{i}+(-3t^2+6t)\hat{j}\right)\\
&=8\hat{i}+(-6t+6)\hat{j} \quad \textrm{m/s}
\end{aligned}

Kecepatan benda setelah 1 sekon :
\begin{aligned}
\vec{v} &=8\hat{i}+(-6t+6)\hat{j} \\
&=8\hat{i}+(-6\cdot 1 +6)\hat{j} \\
&=8\hat{i}+0\hat{j} \quad \textrm{m/s}
\end{aligned}

Besar kecepatan benda setelah 1 sekon :
\begin{aligned}
|\vec{v}| &= \sqrt{v_x^2 +v_y^2}\\
&=\sqrt{8^2 +0^2}\\
&=\sqrt{64+0}\\
&= 8 \quad \textrm{m/s}
\end{aligned}

Jawaban : A

Baca juga : Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB) dan Pembahasan Soal UN SMA tentang Vektor.

Soal 4
Gerak sebuah benda memiliki persamaan posisi : \(\vec{r} = (-6-3t)\hat{i} + (8+4t)\hat{j} \). Semua besaran menggunakan satuan dasar SI. Dari persamaan tersebut disimpulkan sebagai berikut:
(1) koordinat awal (-6, 8) m
(2) kelajuan awal 10 m/s
(3) lintasannya lurus
(4) perpindahannya 7 m tiap sekon
Kesimpulan yang benar adalah ….
A. (1), (2), dan (3)
B. (1), (2), (3), dan (4)
C. (1) dan (3)
D. (2) dan (4)
E. (4) saja

Pembahasan :
– Koordinat awal benda saat t = 0 sekon:
\begin{aligned}
\vec{r} &= (-6-3t)\hat{i} + (8+4t)\hat{j} \\
&= (-6-3\cdot 0)\hat{i} + (8+4\cdot 0)\hat{j} \\
&= -6\hat{i} + 8\hat{j} \quad \textrm{m}
\end{aligned}

Jadi koordinat awal benda (-6, 8) m

– Kecepatan adalah turunan dari posisi :
\begin{aligned}
\vec{v} &= \frac{d\vec{r}}{dt} \\
&= \frac{d}{dt}\left((-6-3t)\hat{i} + (8+4t)\hat{j}\right) \\
&= -3\hat{i}+4\hat{j} \quad \textrm{m/s}
\end{aligned}
Jadi kelajuan awalnya :
\begin{aligned}
|\vec{v}| &= \sqrt{v_x^2 +v_y ^2} \\
&= \sqrt{(-3)^2 +(4) ^2} \\
&= \sqrt{9 +16} \\
&= \sqrt{25} \\
&= 5 \quad \textrm{m/s}
\end{aligned}

– Karena kecepatannya konstan, maka benda bergerak lurus
– Perpindahan benda 5 m tiap sekon

Jawaban : C

Soal 5
Sebuah benda bergerak lurus dengan persamaan kecepatan : \(\vec{v} = 4\hat{i} + (2t+2\frac{1}{3})\hat{j} \) m.s^-1 . Jika posisi benda mula-mula di pusat koordinat, maka perpindahan benda selama 3 sekon adalah ….
A. 10 m
B. 20 m
C. 30 m
D. 40 m
E. 50 m

Pembahasan :

Posisi adalah integral dari kecepatan :
\begin{aligned}
\vec{r} &=\vec{r}_o + \int_{t=0}^{t=3}\vec{v}dt \\
&=0 + \int_{t=0}^{t=3}\left(4\hat{i} + (2t+2\frac{1}{3})\hat{j}\right)dt \\
&= \left[4t\hat{i}+(t^2+\frac{7}{3}t)\hat{j}\right]_0^3\\
&= 4(3-0)\hat{i} +\left((3^2-0^2)+\frac{7}{3}(3-0)\right)\hat{j} \\
&= 12\hat{i} +16\hat{j} \quad \textrm{m}
\end{aligned}

Sehingga besar perpindahan benda selama 3 sekon yaitu :
\begin{aligned}
|\vec{r}| &=\sqrt{x^2+y^2} \\
&=\sqrt{12^2+16^2} \\
&=\sqrt{400} \\
&= 20 \quad \textrm{m}
\end{aligned}

Jawaban : B

Soal 6
Perpindahan suatu benda dinyatakan oleh \(\vec{r} = 4t^2\hat{i}-(3t^2+4t)\hat{j} \), r dalam meter dan t dalam sekon. Percepatan benda setelah 2 sekon adalah ….
A. 5 m/s²
B. 8 m/s²
C. 10 m/s²
D. 12 m/s²
E. 15 m/s²

Pembahasan :
Pecepatan adalah turunan kedua dari posisi :
\begin{aligned}
\vec{a} &= \frac{d\vec{r}^2}{d^2t} \\
&= \frac{d}{dt}\left(\frac{d}{dt}(4t^2\hat{i}-(3t^2+4t)\hat{j})\right) \\
&=\frac{d}{dt}\left(8t\hat{i}-(6t+4)\hat{j}\right)\\
&= 8\hat{i} – 6\hat{j}\quad \textrm{m/s}^2
\end{aligned}

Besar percepatan benda setelah 2 sekon :
\begin{aligned}
|\vec{a}| &= \sqrt{a_x^2+a_y^2} \\
&=\sqrt{(8)^2+(-6)^2} \\
&= \sqrt{100} \\
&= 10 \quad \textrm{m/s}^2
\end{aligned}

Jawaban : C